Dependencia lineal de vectores
La expresión λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 + ... + λ n * A n se denomina combinación lineal de los vectores A 1 , A 2 , ..., A n con coeficientes λ 1, λ 2 , ... , λ n .
Determinación de la dependencia lineal del sistema de vectores
Un sistema de vectores A 1 , A 2 , ..., A n se denomina linealmente dependiente si existe un conjunto de números distintos de cero λ 1, λ 2 , ..., λ n para los cuales la combinación lineal de vectores es λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 + ... + λ n * A n es igual al vector cero , es decir, el sistema de ecuaciones: A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = Θ tiene una solución distinta de cero.
El conjunto de números λ 1, λ 2 , ..., λ n es distinto de cero si al menos uno de los números λ 1, λ 2 , ..., λ n es distinto de cero.
La independencia lineal de un sistema de vectores
Ejemplo 29.1Un sistema de vectores A 1 , A 2 , ..., A n se llama linealmente independiente si la combinación lineal de estos vectores λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 + ... + λ n * A n es igual a cero vector solo para cero conjunto de números λ 1, λ 2 , ..., λ n , es decir, el sistema de ecuaciones: A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = Θ tiene una única solución cero.
Verificar si el sistema vectorial es linealmente dependiente
Solución :
1. Formulamos un sistema de ecuaciones :
2. Lo resolvemos por el método de Gauss . Las transformaciones del sistema de Jordan aparecen en la Tabla 29.1. En el cálculo, los lados derechos del sistema no se escriben porque son cero y no cambian bajo las transformaciones de Jordan.
3. De las últimas tres líneas de la tabla, anotamos el sistema permitido, que es equivalente al sistema original :
4. Obtenemos la solución general del sistema :
5. Estableciendo el valor de la variable libre x 3 = 1 a nuestra discreción, obtenemos una solución particular distinta de cero X = (- 3,2,1).
Respuesta: Por lo tanto, con un conjunto de números distintos de cero (-3,2,1), la combinación lineal de vectores es igual al vector cero -3A1 + 2A2 + 1A3 = Θ. En consecuencia, el sistema de vectores es linealmente dependiente .
Propiedades de sistemas de vectores
Propiedad (1)
Si el sistema de vectores es linealmente dependiente, entonces al menos uno de los vectores se descompone en los otros y, a la inversa, si al menos uno de los vectores del sistema se descompone en los otros, entonces el sistema de vectores es linealmente dependiente.
Propiedad (2)
Si cualquier subsistema de vectores es linealmente dependiente, entonces todo el sistema es linealmente dependiente.
Propiedad (3)
Si el sistema de vectores es linealmente independiente, entonces cada uno de sus subsistemas es linealmente independiente.
Propiedad (4)
Cualquier sistema de vectores que contenga un vector cero es linealmente dependiente.
Propiedad (5)
Un sistema de vectores m-dimensionales siempre es linealmente dependiente si el número de vectores n es mayor que su dimensión (n> m)
La base del sistema de vectores
La base del sistema de vectores A 1 , A 2 , ..., A n es un subsistema B 1 , B 2 , ..., B r (cada uno de los vectores B 1 , B 2 , ..., B r es uno de los vectores A 1 , A 2 , ..., A n ) , que cumple las siguientes condiciones:
1. B 1 , B 2 , ..., B r es un sistema de vectores linealmente independiente;
2. Cualquier vector A j del sistema A 1 , A 2 , ..., A n se expresa linealmente en términos de los vectores B 1 , B 2 , ..., B rr es la cantidad de vectores incluidos en la base.
Teorema 29.1 Sobre la base de la unidad de un sistema de vectores.Si el sistema de vectores m-dimensionales contiene m diferentes vectores unitarios E 1 E 2 , ..., E m , entonces forman la base del sistema.
Algoritmo para encontrar la base de un sistema de vectores
Para encontrar la base del sistema de vectores A 1 , A 2 , ..., A n es necesario:
- Construya un sistema homogéneo de ecuaciones correspondiente a un sistema de vectores A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = Θ
- Trae este sistema