El determinante de la matriz. Método de Cramer

El determinante de la matriz

Para cualquier matriz cuadrada, se puede encontrar una cantidad llamada determinante.

El determinante es una tabla cuadrada de números o símbolos matimáticos (Δd).

Para una matriz de segundo orden el determinante se calcula mediante la fórmula:

Expandir por fila o columna

Fórmulas de expansión para una fila o columna:

Las primeras n fórmulas se denominan fórmulas de expansión para el determinante en una fila, y las segundas n fórmulas se denominan fórmulas para expandir el determinante por columna.

En estas fórmulas - complementos algebraicos de los elementos a _{ij de la} matriz A, donde M _ij son los menores de los elementos a _{ij de la} matriz A.

La menor _{ij del} elemento a _{ij de la} matriz de la orden n-ésima A es el determinante de la matriz de orden (n-1) -th obtenida de la matriz A al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna, en la intersección de la cual hay un elemento a _ij /

Regla de Sarus

Agregar las primeras dos filas o columnas.

En este caso, considere lo siguiente: a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * 31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33

Ejemplo 32.2

Calcule el determinante de dos maneras: expandiendo en la primera línea y siguiendo la regla del triángulo:

Solución :

Propiedades de los determinantes

Propiedad (1)
El determinante no cambiará si todas las filas son reemplazadas por las columnas correspondientes y viceversa.

Propiedad (2)
En el caso de la permutación de dos filas o columnas en algunos lugares, el determinante cambia el signo.

Propiedad (3)
El determinante es cero si tiene dos filas iguales (columnas).

Propiedad (4)
El multiplicador común a todos los elementos de una fila o columna se puede tomar más allá del signo del determinante.

Propiedad (5)
Si los elementos de otra fila o columna se agregan a elementos de una fila o columna, entonces el determinante no cambia.

Un corolario de las propiedades 32.4 y 32.5: si agrega elementos de otra fila o columna a los elementos de una fila o columna, multiplicados por un número, entonces el determinante no cambia.

Propiedad (6)
La suma de los productos de elementos de una fila o columna por el complemento algebraico de los elementos correspondientes de otra fila o columna es cero.

Ejemplo 32.3

Calcule el determinante usando las propiedades:

Solución:

1. Multiplicamos la tercera fila por factores adecuados y lo agregamos a los demás:

obtenemos:

Método de Cramer

Solución de sistemas de ecuaciones

Deja que haya un sistema de ecuaciones:

Denotamos por Δ el determinante de la matriz del sistema y por Δ _{j el} determinante obtenido del determinante Δ de la j-ésima columna por la columna de los lados derechos del sistema (j = 1,2, ..., n).

Teorema 1

Si el determinante de la matriz es diferente de cero, es decir Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene una solución única, que se encuentra mediante la fórmula:

Encontrar la matriz inversa

El camino es una matriz:

Matriz:

se dice que está asociado con la matriz A. Aquí A _{ij es el} complemento algebraico de los elementos a _{ij de la} matriz A.