La fórmula de Poisson

La fórmula de Poisson

La fórmula de Bernoulli es conveniente para cálculos solo para un número comparativamente pequeño de pruebas . En grandes valores Usar esta fórmula es inconveniente. La mayoría de las veces en estos casos usa la fórmula de Poisson. Esta fórmula está determinada por el teorema de Poisson.

TEOREMA. Si la probabilidad la ocurrencia de un evento en cada prueba es constante y pequeña, y el número de pruebas independientes es lo suficientemente grande, entonces la probabilidad de un evento exactamente veces aproximadamente igual a

, (3.4)

donde .

Prueba. Deje que se dé la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo y número de pruebas independientes . Denotamos por . Ubicación . Sustituimos esta expresión en la fórmula de Bernoulli:

Por lo suficientemente grande! N ,, y para un relativamente pequeño !! m ,, todos los corchetes, con la excepción de la penúltima, se pueden tomar igual a uno, es decir

Dado que es lo suficientemente grande, el lado derecho de esta expresión se puede considerar para es decir encuentra el limite

Entonces obtenemos

(3.5)

Un ejemplo En la empresa, se produjeron 100.000 botellas de cerveza y se enviaron al cliente. La probabilidad de que la botella sea un poco es 0.0001. Encuentre la probabilidad de que haya exactamente tres y exactamente cinco botellas rotas en el envío enviado.

La solución Dado: n = 100.000, p = 0.0001, m = 3 (m = 5).

Encontramos .

Usamos la fórmula de Poisson