La matriz inversa. La solución de las ecuaciones matriciales

La matriz inversa

Deje que haya una matriz cuadrada de la enésima orden

Una matriz A -1 se denomina matriz inversa con respecto a la matriz A si A * A -1 = E, donde E es la n-ésima matriz de identidad de orden.

Una matriz de unidades es una matriz cuadrada con todos los elementos a lo largo de la diagonal principal que pasa de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, una, y los restantes, ceros, por ejemplo:

La matriz inversa solo puede existir para matrices cuadradas . Para matrices con el mismo número de filas y columnas.

La condición de existencia para la matriz inversa

Para que una matriz tenga una matriz inversa, es necesario y suficiente que sea no degenerada.

Se dice que la matriz A = (A1, A2, ... An) no es degenerada si los vectores de columna son linealmente independientes. La cantidad de vectores de columna de matriz linealmente independientes se denomina rango de la matriz . Por lo tanto, podemos decir que para que exista una matriz inversa, es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual a su dimensión; r = n.

El algoritmo para encontrar la matriz inversa

  1. Escriba la matriz A en la tabla para resolver los sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss y asigne a la derecha (a la derecha de las ecuaciones) la matriz E.
  2. Usando las transformaciones de Jordan, lleva la matriz A a una matriz que consta de columnas de unidades; Al mismo tiempo, es necesario convertir simultáneamente la matriz E.
  3. Si es necesario, reorganice las filas (ecuaciones) de la última tabla para que debajo de la matriz A de la tabla original, la unidad de matriz E.
  4. Escribe la matriz inversa A -1 , que está en la última tabla debajo de la matriz E de la tabla fuente.
Ejemplo 1

Para la matriz A, encuentre la matriz inversa A -1

Solución: Escribimos la matriz A y asignamos la matriz de la unidad E a la derecha. Usando las transformadas de Jordan, reducimos la matriz A a la unidad de la matriz E. Los cálculos se dan en la Tabla 31.1.

Vamos a verificar la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original A y la matriz inversa A -1 .

Como resultado de la multiplicación de matrices, se obtuvo una matriz de unidades. En consecuencia, los cálculos son correctos.

Respuesta:

La solución de las ecuaciones matriciales

Las ecuaciones de matriz pueden tener la forma:

AX = B, XA = B, AXB = C,

donde A, B, C tienen matrices, X es la matriz deseada.

Las ecuaciones de matriz se resuelven multiplicando la ecuación por matrices inversas.

Por ejemplo, para encontrar la matriz de la ecuación , es necesario multiplicar esta ecuación por a la izquierda

Entonces:

Por lo tanto, para encontrar una solución ecuaciones , tenemos que encontrar la matriz inversa y multiplicarlo por la matriz , de pie en el lado derecho de la ecuación.

Otras ecuaciones se resuelven de manera similar.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación AX = B si

Solución : dado que la matriz inversa es igual (ver Ejemplo 1)

El método de la matriz en el análisis económico

Junto con otros métodos económicos y matemáticos, los métodos de matriz también se utilizan en el análisis de la actividad económica . Estos métodos se basan en álgebra lineal y de matriz vectorial. Dichos métodos se usan para el análisis de fenómenos económicos complejos y multidimensionales. Muy a menudo, estos métodos se usan cuando es necesario comparar el desempeño de las organizaciones y sus unidades estructurales.

En el proceso de aplicación de métodos de análisis de matriz, se pueden distinguir varias etapas.

En la primera etapa , se forma un sistema de indicadores económicos y sobre la base de una matriz de datos iniciales , que es una tabla en la que los números del sistema (i = 1,2, ...., n) se muestran en sus líneas individuales, y los números de indicadores (j = 1,2, ...., m )

En la segunda etapa , cada gráfico vertical revela el mayor de los valores disponibles de los indicadores, que se toma como la unidad.

Después de eso, todas las cantidades reflejadas en esta columna dividir por el valor más alto y se forma una matriz de coeficientes estandarizados .

En la tercera etapa, todas las partes constituyentes de la matriz son cuadradas. Si tienen un significado diferente, a cada indicador de la matriz se le asigna un cierto coeficiente de peso k . El valor de este último está determinado por expertos.

Luego, la calificación para cada uno de los sistemas analizados se determina mediante la siguiente fórmula:

En la última, cuarta etapa, los valores de las estimaciones de calificación R j se agrupan en el orden de su aumento o disminución.

Los métodos matriciales indicados deberían utilizarse, por ejemplo, en un análisis comparativo de diversos proyectos de inversión, así como en la evaluación de otros resultados económicos de las organizaciones.

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