Método de mínimos cuadrados

El modelo de regresión clásico y el método de mínimos cuadrados

El método de los mínimos cuadrados es uno de los más extendidos y más desarrollados debido a su simplicidad y efectividad de los métodos para estimar los parámetros de los modelos econométricos lineales . Al mismo tiempo, debe utilizarse con precaución, ya que los modelos construidos con él no pueden satisfacer una serie de requisitos con respecto a la calidad de sus parámetros y, en consecuencia, no es suficiente "bueno" para reflejar las leyes del desarrollo del proceso. .

Considere el procedimiento para estimar los parámetros de un modelo econométrico lineal utilizando el método de mínimos cuadrados con más detalle. Tal modelo puede ser representado en forma general por la ecuación (1.2):

y _t = a ₀ + a ₁ x _{1 t} + ... + a _n x _nt + ε _t .

Los datos iniciales al estimar los parámetros a ₀ , un ₁ , ..., a _n es el vector de los valores de la variable dependiente y = (y ₁ , y ₂ , ..., y _T ) 'y la matriz de valores de las variables independientes

en el cual la primera columna que consiste en unidades corresponde al coeficiente del modelo .

El nombre de su método de mínimos cuadrados se derivó del principio básico, que debe ser satisfecho por las estimaciones de los parámetros obtenidos sobre esta base: la suma de los cuadrados del error del modelo debe ser mínima.

Ejemplos de resolver problemas por el método de mínimos cuadrados

Ejemplo 2.1. La empresa comercial tiene una red que consta de 12 tiendas, la información sobre las actividades de las cuales se presenta en la Tabla. 2.1.

A la gerencia de la empresa le gustaría saber cómo la facturación anual depende del área de ventas de la tienda.

Tabla 2.1.

Número de tienda	Volumen de negocios anual, millones de rublos.	Área comercial, mil m 2
1	19.76	0.24
2	38.09	0.31
3	40.95	0.55
4	41.08	0.48
5	56.29	0.78
Sexto	68.51	0.98
Séptimo	75.01	0.94
Octavo	89.05	1.21
Noveno	91.13	1.29
10	91.26	1.12
11mo	99.84	1.29
12º	108.55	1.49

La solución de mínimos cuadrados. Denotamos por - volumen de negocios anual tienda, millones de rublos; - área de ventas th store, mil m ² .

Fig.2.1. El diagrama de dispersión para el Ejemplo 2.1

Para determinar la forma de la relación funcional entre las variables y construimos un diagrama de dispersión (Figura 2.1).

Sobre la base del diagrama de dispersión, se puede concluir que la rotación anual depende positivamente del área comercial (es decir, crecerá con el crecimiento ) La forma más adecuada de conexión funcional es lineal .

La información para cálculos adicionales se presenta en la Tabla. 2.2. Usando el método de mínimos cuadrados, estimamos los parámetros de un modelo econométrico lineal de un factor

Tabla 2.2.

t	y t	x 1 t	y t 2	x 1 t 2	x 1t y t
1	2	3	4	5	Sexto
1	19.76	0.24	390.4576	0.0576	4.7424
2	38.09	0.31	1450.8481	0.0961	11.8079
3	40.95	0.55	1676.9025	0.3025	22.5225
4	41.08	0.48	1687.5664	0.2304	19.7184
5	56.29	0.78	3168.5641	0,6084	43.9062
Sexto	68.51	0.98	4693.6201	0.9604	67,1398
Séptimo	75.01	0.94	5626,5001	0,8836	70.5094
Octavo	89.05	1.21	7929,9025	1.4641	107,7505
Noveno	91.13	1.29	8304.6769	1,6641	117,5577
10	91.26	1.12	8328.3876	1,2544	102,2112
11mo	99.84	1.29	9968,0256	1,6641	128,7936
12º	108.55	1.49	11783.1025	2,2201	161,7395
S	819.52	10.68	65008.554	11.4058	858,3991
Promedio	68.29	0.89

De esta manera,

En consecuencia, con un aumento en el área comercial de 1 mil m ² , en igualdad de condiciones, el volumen de negocios anual promedio aumenta en 67,8871 millones de rublos.

Ejemplo 2.2. La gerencia de la compañía observó que la rotación anual depende no solo del área de ventas de la tienda (ver ejemplo 2.1), sino también del número promedio de visitantes. La información correspondiente se presenta en la Tabla. 2.3.

Tabla 2.3.

Número de tienda	Promedio de visitantes por día, mil personas.
1	8.25
2	10.24
3	9.31
4	11.01
5	8.54
Sexto	7.51
Séptimo	12.36
Octavo	10.81
Noveno	9.89
10	13.72
11mo	12.27
12º	13.92

La solución Denotamos por - promedio de visitantes tienda por día, mil personas.

Para determinar la forma de la relación funcional entre las variables y construimos un diagrama de dispersión (Figura 2.2).

Sobre la base del diagrama de dispersión, se puede concluir que la rotación anual depende positivamente del número promedio de visitantes por día (es decir, crecerá con el crecimiento ) La forma de la dependencia funcional es lineal.

Fig. 2.2. El diagrama de dispersión para el ejemplo 2.2

Tabla 2.4.

t	x 2t	x 2 t 2	y t x 2 t	x 1t x 2t
1	2	3	4	5
1	8.25	68,0625	163.02	1.98
2	10.24	104,8575	390.0416	3,1744
3	9.31	86,6761	381.2445	5,1205
4	11.01	121,2201	452,2908	5,2848
5	8.54	72,9316	480,7166	6,6612
Sexto	7.51	56,4001	514.5101	7,3598
Séptimo	12.36	152,7696	927,1236	11,6184
Octavo	10.81	116,8561	962,6305	13.0801
Noveno	9.89	97,8121	901,2757	12.7581
10	13.72	188,2384	1252,0872	15.3664
11mo	12.27	150.5529	1225,0368	15,8283
12º	13.92	193,7664	1511,016	20,7408
S	127.83	1410.44	9160,9934	118,9728
Medio	10.65

En general, es necesario determinar los parámetros de un modelo econométrico de dos factores

para _t = a ₀ + a ₁ x _{1 t} + a ₂ x _{2 t} + ε _t

La información requerida para cálculos adicionales se presenta en la Tabla. 2.4.

Vamos a estimar los parámetros de un modelo econométrico lineal de dos factores utilizando el método de mínimos cuadrados.

De esta manera,

Factor de evaluación = 61.6583 muestra que, en igualdad de condiciones, con un aumento en la zona comercial de 1 mil m ^{2, la} facturación anual aumentará en un promedio de 61,6583 millones de rublos.

Factor de evaluación = 2.2748 muestra que, en igualdad de condiciones, con un aumento en el número promedio de visitantes por 1 mil personas. por día, la facturación anual aumentará en un promedio de 2.2748 millones de rublos.

Ejemplo 2.3. Usando la información presentada en la Tabla. 2.2 y 2.4, para estimar el parámetro del modelo econométrico de un solo factor

donde - valor centrado de la facturación anual tienda, millones de rublos; - valor centrado de la cantidad diaria promedio de visitantes a la tienda t-th, miles de personas. (ver ejemplos 2.1-2.2).

La solución La información adicional requerida para los cálculos se presenta en la Tabla. 2.5.

Tabla 2.5.

1	2	3	4	5
1	-48.53	-2.40	5,7720	116,6013
2	-30.20	-0.41	0.1702	12.4589
3	-27.34	-1.34	1,8023	36.7084
4	-27.21	0.36	0.1278	-9.7288
5	-12.00	-2.11	4,4627	25.3570
Sexto	0.22	-3,14	9,8753	-0.6809
Séptimo	6.72	1.71	2,9156	11.4687
Octavo	20.76	0.16	0,0348	3,2992
Noveno	22.84	-0.76	0.5814	-17,413
10	22.97	3.07	9.4096	70,4503
11mo	31.55	1.62	2,6163	51,0267
12º	40.26	3.27	10.6766	131.5387
Monto	48,4344	431.0566

Usando la fórmula (2.35), obtenemos

De esta manera,