Ecuaciones lineales
En el caso general, la ecuación lineal tiene la forma:a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b
donde:
- a 1 , a 2 , ..., a n , b son constantes
- x 1 , x 2 , ..., x n son desconocidos
Cualquier vector n-dimensional X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) se denomina solución de la ecuación si, bajo la sustitución de sus coordenadas, la ecuación se convierte en una identidad.
Se dice que dos ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
Tres casos en resolver ecuaciones lineales
- Si los coeficientes de las incógnitas a 1 = a 2 = ... = a n = 0 yb = 0 , en este caso la ecuación tiene la forma: 0 * x 1 + 0 * x 2 + ... + 0 * x n = 0 y se llama trivial (esta ecuación tiene un conjunto infinito de soluciones)
- Si los coeficientes a 1 = a 2 = ... = a n = 0 yb ≠ 0 , en este caso la ecuación tiene la forma: 0 * x 1 + 0 * x 2 + ... + 0 * x n = b y se llama contradictorio (esta ecuación no tiene solución)
- Al menos uno de los coeficientes para las incógnitas es diferente de cero.
Supongamos que a 1 ≠ 0. En este caso, podemos resolver la ecuación para x 1 :
Importante : en este caso, x 1 se llama desconocido resuelto , x 2 , x 3 , ...., x n se llaman incógnitas libres . Si las incógnitas libres dan valores específicos x 2 = k 2 , x 3 = k 3 , ..., x n = k n , entonces el vector K = (k 2 , k 3 , ..., k n ) es la solución del original ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones
En el caso general, un sistema de ecuaciones lineales que contiene m ecuaciones yn ecuaciones tiene la forma:
donde, a ij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n) y b i (i = 1,2, ..., m) son constantes.
Una solución de un sistema de ecuaciones es un vector n-dimensional X = (x 1 , x 2 , ..., x n ), que es simultáneamente una solución de cada una de las ecuaciones del sistema.
Los sistemas de ecuaciones son:
- Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
- Un sistema conjunto es un sistema de ecuaciones si tiene al menos una solución.
- Un sistema de ecuaciones se denomina inconsistente si no tiene una sola solución.
- Un sistema de ecuaciones se llama definido si tiene una solución única.
- Un sistema de ecuaciones se denomina indeterminado si tiene un conjunto infinito de soluciones.
Formas vectoriales y matriciales de sistemas de registro de ecuaciones lineales
Forma vectorial de registro
El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma vectorial :
A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = B
Matrix forma de grabación
En la notación de la matriz, un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir de la siguiente manera:
AX = B