Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Jordan-Gauss

El sistema resuelto de ecuaciones

En el caso general, la ecuación lineal tiene la forma:

La ecuación tiene una solución: si al menos uno de los coeficientes con desconocido es diferente de cero. En este caso, cualquier tridimensional se llama una solución de la ecuación si, bajo la sustitución de sus coordenadas, la ecuación se convierte en una identidad.

Característica general del sistema de ecuaciones permitido

Ejemplo 20.1

Describe el sistema de ecuaciones .

Solución :

1. ¿El sistema de ecuaciones lineales incluye una ecuación contradictoria? (Si los coeficientes , en este caso, la ecuación tiene la forma: y se llama contradictorio )

• Si el sistema contiene un elemento contradictorio, dicho sistema es incompatible y no tiene solución

2. Encuentra todas las variables permitidas . ( Desconocido se dice que se resuelve para un sistema de ecuaciones si ingresa una de las ecuaciones del sistema con un coeficiente +1, y no ingresa las ecuaciones restantes (es decir, ingresa con un coeficiente igual a cero).

• En nuestro ejemplo, lo desconocido entra en la primera ecuación con coeficiente uno, la segunda ecuación no entra, es decir es el primero permitido .
• Similarmente Está contenido solo en la segunda ecuación a solo en el primero.

3. ¿Se ha resuelto el sistema de ecuaciones? ( Un sistema de ecuaciones se llama resuelto si cada ecuación del sistema contiene un desconocido permitido, entre los cuales no hay coincidencias)

• Nuestro sistema está autorizado porque cada ecuación contiene las incógnitas permitidas )

Las incógnitas resueltas, tomadas de una de cada ecuación del sistema, forman un conjunto completo de sistemas desconocidos resueltos . (en nuestro ejemplo esto es )

Las incógnitas resueltas que entran en un conjunto completo también se llaman básicas ( ), y no incluido en el conjunto - gratis ( )

En el caso general, el sistema de ecuaciones permitido tiene la forma:

En esta etapa, lo principal es entender qué es lo desconocido resuelto (ingresando a la base y libre).

Decisión Básica Privada General

Una solución común de un sistema de ecuaciones permitido es el conjunto de expresiones para incógnitas resueltas en términos de términos libres y de incógnitas libres:

Una solución particular de un sistema de ecuaciones es una solución obtenida de lo general para valores específicos de variables libres e incógnitas.

La solución base es una solución particular obtenida de la solución general para valores cero de variables libres.

• Una solución base (vector) se denomina degenerada si el número de sus coordenadas distintas de cero es menor que el número permitido de incógnitas.
• Se dice que una solución base no es degenerada si el número de sus coordenadas distintas de cero es igual al número permitido de incógnitas del sistema que ingresa al conjunto completo.

Teorema (1)

Un sistema resuelto de ecuaciones siempre es consistente (porque tiene al menos una solución); y si el sistema no tiene incógnitas libres (es decir, en el sistema de ecuaciones todos los permitidos entran en la base) entonces se define (tiene una solución única); si hay al menos una variable libre, entonces el sistema no está definido (tiene un conjunto infinito de soluciones).

Ejemplo 1. Encuentre una solución general, básica y alguna solución particular del sistema de ecuaciones:

Solución :

1. ¿Verificamos si el sistema está autorizado?

• El sistema está permitido (ya que cada una de las ecuaciones contiene un desconocido permitido)

2. Incluimos en el conjunto de incógnitas permitidas, una de cada ecuación .

• En nuestro caso, podemos incluir en el conjunto de incógnitas resueltas de la primera ecuación: y , y solo de la segunda ecuación . Es decir, el conjunto puede consistir en ( ) o ( )

3. Anotamos la solución general, dependiendo de lo que permitió las incógnitas que incluimos en el conjunto .

• Digamos que incluimos incógnitas en el conjunto y , entonces la solución general se verá así:

4. Encontramos una solución particular . Para hacer esto, equiparamos las variables libres que no incluimos en el conjunto con números arbitrarios.

• Dejar , , , luego de la solución general encontramos:

Respuesta: una solución privada (una de las opciones)

5. Encontramos la solución básica . Para esto, equiparamos las variables libres, que no incluimos en el conjunto a cero.

• , luego de la solución general obtenemos , y la solución básica :

Transformaciones elementales de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se reducen a sistemas equivalentes permitidos que utilizan transformaciones elementales.

Teorema (2)

Si cualquier ecuación del sistema se multiplica por un número distinto de cero , y las ecuaciones restantes no se modifican, obtenemos un sistema equivalente a este . (es decir, si multiplicamos los lados izquierdo y derecho de la ecuación por el mismo número, obtenemos una ecuación equivalente a esta)

Teorema (3)

Si agregamos otra ecuación a cualquier ecuación del sistema y dejamos todas las otras ecuaciones sin cambios, obtenemos un sistema equivalente a este . (es decir, si agregamos dos ecuaciones (al agregar sus lados izquierdo y derecho), obtenemos una ecuación equivalente a los datos)

El corolario de los teoremas (2 y 3)

Si agregamos a otra ecuación multiplicada por un cierto número y dejamos todas las otras ecuaciones sin cambios, obtenemos un sistema equivalente a este .

Las fórmulas para recalcular los coeficientes del sistema

Si tenemos un sistema de ecuaciones y queremos transformarlo en un sistema permitido de ecuaciones, el método de Jordan-Gauss nos ayudará en esto.

La transformación de Jordan con el elemento de resolución nos permite obtener para el sistema de ecuaciones un desconocido permitido en el número de ecuación . (ejemplo 2).

La transformación de Jordan consiste en transformaciones elementales de dos tipos:

1. Ecuación con elemento de resolución está dividido por este elemento (multiplicado por )
2. Ecuación con elemento de resolución multiplicado por factores adecuados y agregado a todas las otras ecuaciones para excluir lo desconocido .

Digamos que queremos hacer un desconocido en la ecuación inferior del desconocido resuelto. Para esto debemos dividir en el , de modo que la suma .

Ejemplo 2 Calculamos los coeficientes del sistema

Al dividir la ecuación con el número en el , sus coeficientes se recalculan según las fórmulas:

Para excluir del número de ecuación , necesitamos el número de ecuación multiplicar por y agrega a esta ecuación.

Teorema (4) Reducción del número de ecuaciones del sistema.

Si el sistema de ecuaciones contiene una ecuación trivial, puede excluirse del sistema y se obtiene un sistema equivalente al original.

Teorema (5) Sobre la incompatibilidad de un sistema de ecuaciones.

Si el sistema de ecuaciones contiene una ecuación contradictoria, entonces es inconsistente.

Algoritmo del método Jordan-Gauss

El algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de Jordan-Gauss consiste en una serie de pasos del mismo tipo, en cada uno de los cuales las acciones se realizan en el siguiente orden:

1. Se verifica si el sistema no es compatible. Si el sistema contiene una ecuación contradictoria, entonces es inconsistente.
2. Se verifica la posibilidad de reducir el número de ecuaciones. Si el sistema contiene una ecuación trivial, se elimina.
3. Si se resuelve el sistema de ecuaciones, se escribe la solución general del sistema y, si es necesario, soluciones particulares.
4. Si el sistema no está permitido, en la ecuación que no contiene el desconocido resuelto, se selecciona el elemento de resolución y se realiza la transformación de Jordan con este elemento.
5. Luego avance al paso 1

Ejemplo 3 Resuelve el sistema de ecuaciones mediante el método de Jordan-Gauss.

Buscar : dos soluciones básicas generales y dos correspondientes

Solución :

Los cálculos se dan en la siguiente tabla:

A la derecha de la tabla están las acciones en las ecuaciones. Las flechas indican a qué ecuación se agrega la ecuación con el elemento de resolución, multiplicada por un factor adecuado.

Las primeras tres filas de la tabla contienen coeficientes para incógnitas y las partes de la derecha del sistema original. Los resultados de la primera transformación de Jordan con el elemento de resolución igual a la unidad se muestran en las líneas 4, 5 y 6. Los resultados de la segunda transformación de Jordan con el elemento de resolución igual a (-1) se dan en las líneas 7, 8 y 9. Dado que la tercera ecuación es trivial, considerar.

Sistema equivalente con incógnitas permitidas y tiene la forma:

Ahora podemos escribir la solución general :

Equate las variables libres y y obtener: .

Solución básica :

Para encontrar el segundo general y la solución básica correspondiente, en el sistema permitido obtenido en alguna ecuación, es necesario elegir algún otro elemento de resolución. (el hecho es que una ecuación lineal puede contener varias soluciones generales y básicas). Si un sistema permitido de ecuaciones equivalentes al sistema original contiene desconocido y ecuaciones, el número de soluciones de base general y correspondientes del sistema original es igual al número de combinaciones y . El número de combinaciones se puede calcular mediante la fórmula:

En nuestro caso, el elemento de resolución (-1) en la primera ecuación se elige para (línea 7). A continuación, transformamos el Jordan. Obtenemos un nuevo sistema permitido (líneas 10, 11) con nuevas incógnitas permitidas y :

Escribimos la segunda solución general :

Y la solución básica correspondiente:

Respuestas

Solución general :

Solución básica :

Solución general :

Solución básica :