Teoremas de suma y multiplicación de probabilidades

El teorema de suma para las probabilidades de eventos incompatibles

TEOREMA. Probabilidad de la suma de un número finito de eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos

(2.1)

Prueba. Vamos a probar este teorema para el caso de la suma de dos eventos incompatibles y .

Deje que el evento favor resultados elementales y evento resultados. Desde los eventos y por la hipótesis del teorema son incompatibles, entonces el evento favor resultados elementales del número total de n resultados. Por lo tanto,

,

donde - probabilidad de evento ; - probabilidad de evento .

Un ejemplo Para enviar la mercancía desde el almacén, se puede asignar una de dos máquinas de diferente tipo. La probabilidad de cada máquina es conocida: . A continuación, la probabilidad de recepción en el almacén de al menos una de estas máquinas será

P (A ₁ + A ₂ ) = 0.2 + 0.4 = 0.6.

La probabilidad condicional

En muchos casos, la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos depende de si ha ocurrido o no otro evento. Por ejemplo, la probabilidad de un lanzamiento oportuno de la máquina depende de la entrega de componentes. Si estos elementos ya se entregan, entonces la probabilidad deseada será uno. Si se determina antes de la entrega de los componentes, su valor obviamente será diferente.

Probabilidad del evento , calculado con la condición de que hubiera otro evento , se llama la probabilidad condicional de un evento y se denota por .

En los casos donde la probabilidad de un evento Considerando que ocurrieron otros dos eventos , la probabilidad condicional se usa en relación con el producto de los eventos

.

El teorema de multiplicar probabilidades

TEOREMA. La probabilidad del producto de dos eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculado con la condición de que el primero haya tenido lugar

P (AB) = P (A) × P (B / A) = P (B) × P (A / B ). (2.2)

Prueba. Supongamos que de todos los posibles resultados elementales del evento favor resultados, de los cuales los resultados son favorables para el evento . Entonces la probabilidad de un evento será , la probabilidad condicional de un evento sobre el evento será .

Para el trabajo de eventos y Solo aquellos resultados que favorecen el evento y evento simultáneamente, es decir resultados. Por lo tanto, la probabilidad de producir eventos y es

.

Multiplicamos el numerador y el denominador de esta fracción por . Obtenemos

.

Del mismo modo, podemos probar la fórmula

.

Un ejemplo El almacén recibió 35 refrigeradores. Se sabe que hay 5 refrigeradores con defectos, pero no se sabe qué tipo de refrigeradores es. Encuentre la probabilidad de que dos tomados al azar el refrigerador estén defectuosos.

La solución La probabilidad de que el primer refrigerador elegido sea defectuoso se encuentra como la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles.

P (A) = 5/35 = 1/7 .

Pero después de que se tomó el primer refrigerador defectuoso, la probabilidad condicional de que el segundo sea defectuoso se determina sobre la base de la relación

La probabilidad deseada es

.

Si en la ocurrencia de un evento probabilidad de un evento no cambia, entonces los eventos y se llaman independientes .

En el caso de eventos independientes, la probabilidad de su producción es igual al producto de las probabilidades de estos eventos

P (AB) = P (A) × P (B) . (2.3)

El teorema de la multiplicación de probabilidades se puede generalizar fácilmente a cualquier cantidad finita de eventos.

TEOREMA. La probabilidad del producto de un número finito de eventos es igual al producto de sus probabilidades condicionales en relación con el producto de los eventos precedentes, es decir,

P (ABC .... LM) = P (A) × P (B / A) × P (C / AB) P (M / AB ... L) . (2.4)

Para probar este teorema, uno puede usar el método de inducción matemática.

El teorema de suma para las probabilidades de eventos conjuntos

Dos eventos se denominan eventos conjuntos , si la aparición de uno de ellos no excluye la aparición de otro en el mismo experimento.

Un ejemplo Admisión a la tienda de un tipo de productos: un evento . El recibo del segundo tipo de bienes: un evento . Introduzca estos bienes puede y al mismo tiempo. Por lo tanto, y - eventos conjuntos.

TEOREMA. La probabilidad de ocurrencia de al menos uno de los dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de su aparición conjunta

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) . (2.5)

Prueba. Evento Si ocurre uno de tres eventos incompatibles , , . Por el teorema de adición para las probabilidades de eventos incompatibles, tenemos

(2.6)

Evento ocurrirá si ocurre uno de dos eventos incompatibles: , . Nuevamente aplicando el teorema de suma para las probabilidades de eventos incompatibles, obtenemos . Ubicación

(2.7)

Del mismo modo para el evento Ubicación

(2.8)

Sustituyendo (2.7) y (2.8) en (2.6), encontramos

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) .

Un ejemplo Si la probabilidad de ingresar a una tienda de un tipo de mercancía es P (A) = 0.4, y la segunda mercancía es P (B) = 0.5, y suponiendo que estos eventos son independientes pero consistentes, entonces la probabilidad de la suma de los eventos es

P (A + B) = 0.4 + 0.5 - 0.4 × 0.5 = 0.7 .